EKSPONENSIAL

EKSPONENSIAL

                Kadang-kadang kurva yang mulus dapat memberikan ketepatan yang lebih baik dari pada garis lurus. Kurva mulus menyiratkan keseragaman naik turunnya konstanta sebagai sebuah garis lurus. Persamaan untuk sebuah kurva dapat diambil nilai eksponensial dari Y=a+bX, yang menunjukkan bahwa nilai Y berubah pada setiap periode dari angka konstan b.

CONTOH garis  kuadrat terkecil dicocokkan kepada model dari data utama

Tahun	Y	X	X2	XY
1984	108	0	0	0
1985	119	1	1	119
1986	110	2	4	220
1987	122	3	9	366
1988	130	4	16	530
Penjumlahan	589	10	30	1225

                Pada garis lurus, kemiringan garis menunjukkan kecocokan data. Untuk menunjukkan perbedaan dari metoda kuadrat terkecil, kita menggunakan tahun 1984 sebagai data pertama, kemudian diikuti tahun 1986. Menggunakan tabel dengan Y sebagai penjualan dalam satuan $10.00. Untuk menentukan nilai dari åY, åX, åXY dan åX², kita mempunyai beberapa persamaan, yaitu:

589=5a+10b

1225=10a+3b

Persamaan ini diselesaikan dengan memberikan permisalan:

a= 1084                 atau       $1.084.000

b=47                      atau       $47.000

Gunakan data yang sama namun ganti dari 1984 ke 1986, maka akan didapat:

Tahun	Y	X	X2	XY
1984	108	-2	4	-216
1985	119	-1	1	-119
1986	110	0	0	0
1987	122	1	1	122
1988	130	2	4	260
Penjumlahan	589	0	10	47

Yang mengikuti a dan b yang dihitung sebagai:

                 atau $1.178.000

                 atau $47.000

Persamaan forecasting dikembangkan dengan mensubstitusikan nilai a dan b kedalam persamaan garis lurus. Peramalan untuk tahun 1989 adalah 5 tahun dari 1984 yang ditunjukkan oleh persamaan:

Yf=$1.084.000+$47.000X

dan ramalannya:

                F₁₉₈₉=$1.084.000+$47.000 (5)=$1.319.000

Sama seperti diatas, menggunakan persamaan yag diturunkan dati titik nol ke tahun 1986:

Yf=$1.178.000+$47.000X

dan ramalannya:

F₁₉₈₉=$1.178.000+$47.000(3)=$1.319.000

Perbandingan antara kedua ramalan dan perhitungan menegaskan bahwa pemusatan data pada waktu singkat secara aritmatika tanpa mengubah nilai ramalan.

                Kita dapat menentukan nilai dari a dan b dengan metoda kuadrat terkecil jika kita rubah persamaan eksponensial ke bentuk logaritmanya:

                Log Y=log a + X log b

Logaritma ini akan membentuk garis lurus pada kertas semilog dimana Y adalah skala logaritma dan X adalah skala aritmatik. Hal ini memungkinkan kita untuk mengatur persamaan normal dalam penggambaran utama seperti dalam contoh 3.2. Berikut adalah persamaan normalnya:

å (log Y) = N (log a)+ å X (log b)

å (X log Y) = å X (log a) + å X² (log b)

Dapat diselesaikan dengan mengatur tabel yang terdiri dari kolom å (log Y), åX, å (X log Y) dan åX². Ketika titik nol ditentukan pada åX=0, dapat diselesaikan dengan perhitungan sebagai berikut:

dan

                Setelah menyelesaikan persamaan ini, selesaikan persamaan norml ketika å X tidak sama dengan nol. Persamaan eksponensial dibangun dengan meletakkan antilogaritma pada a dan b.

Persamaan Y=ab, persamaan di plot pada skala semilogaritma

                Jika kurva dari persamaan eksponensial tidak menampilkan data yang cukup. Persamaan forecasting dapat berdasarkan pada aljabar biasa seperti berikut:

                                                                Y= a + b₁X + b₂X² +...b_nXⁿ

Atau sebagai fungsi trigonometri, seperti berikut:

Metoda perhitungan lain yang dapat dilakukan adalah dengan menggabungkan kedua metoda. Metoda perhitungan ini memang memerlukan pemahaman matematis yang tingggi dan dapat menggunakan rujukan buku yang terdapat pada akhir bab ini.